2007-5-21 11:31庄亿农
勾股定理是中学数学中一个极为重要的定理，也是中考必考的知识点，各地试卷中都有所涉及。
例1. （2006年·南京市）已知矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合。如果折痕FG分别与AD、AB交于点F、G（如图1）， ，求DE的长。
图1
分析：由折叠可知，EF=AF，从而将条件都转化到Rt△DEF中，运用勾股定理求解。
解：在矩形ABCD中，AB=2，AD=1， 。
根据轴对称的性质，得 ，所以 。
在Rt△DEF中，由勾股定理得
点评：纸片的折叠是一项探究与娱乐两者兼备的活动，由于取材方便，操作易行，很受中考命题者的青睐。
例2. （2006年·广东）如图2，已知圆柱体底面圆的半径为 ，高为2，AB、CD分别是两底面的直径。若一只小虫从A点出发，一直沿侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是____________________。（结果保留根式）
图2
分析：可以把圆柱的侧面展开，其展开图为矩形，如图3所示。连接AC，则AC即为小虫爬行的最短路线，可用勾股定理求得其长。
图3
解：由题意知 ，
由勾股定理 ，得
故小虫爬行的最短路线长为 。
点评：解决立体图形中的最短路线问题的关键是把立体图形平面化。方法是：把立体图形的表面展开，根据“两点之间线段最短”，利用勾股定理，直接求出平面上两点之间的距离，此距离即为所求。
例3. 如图4，四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为一边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为一边作第三个正方形AEGH……
（1）记正方形ABCD的边长为 ，依上述方法所作的正方形的边长依次为 ，…， ，求出 的值。
（2）根据以上规律写出第n个正方形的边长 的表达式。
图4
分析：由于四边形ACEF及依次作出的四边形均为正方形，且边长 均为上一个正方形的对角线长，所以通过勾股定理可以依次求出边长。
解：（1）因为四边形ABCD为正方形，所以 。
所以在Rt△ABC中，
根据勾股定理
同理可得AE=2，
即 。
（2）根据以上规律，第n个正方形的边长 （n是正整数）。
点评：此类探索规律题能较好地考查同学们的创新精神和探索能力，是近年中考的热点题型之一。
例4. 在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c。若∠C=90°，如图5①，根据勾股定理，则 。若△ABC不是直角三角形，如图5②和图5③，请你类比勾股定理，猜想 与 的关系，并说明你的结论。
图5
分析：在图5②和图5③中可过A作AD⊥BC于D，利用勾股定理确定 ，并探索出 与 的关系。
解：若△ABC是锐角三角形，则有
若 是钝角三角形，∠C为钝角，则有
理由：当△ABC是锐角三角形时：
如图5②，过点A作AD⊥BC，垂足为D。
设CD为x，则有
根据勾股定理，得
即
所以
因为a>0，x>0，所以2ax>0，所以
当△ABC是钝角三角形时：
如图5③，过B作BD⊥AC，交AC的延长线于D。
设CD为x，则有 。
根据勾股定理，得
即
因为b>0，x>0，所以2bx>0，所以 。
点评：此题通过构造直角三角形，设未知数列方程求解，体现了几何知识代数化的解题思路，展示了数形结合的思想。
例5. （2006年·泉州市）如图6，一架长4m的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，∠ABO=60°。
（1）求AO与BO的长。
（2）若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行。
图6
①如图7，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC：BD=2：3，试计算梯子顶端A沿NO下滑了多少米。
图7
②如图8，当A点下滑到 点，B点向右滑行到 点时，梯子AB的中点P也随之运动到 点。若 ，试求 的长。
图8
分析：（1）根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出BO的长，然后用勾股定理可求出AO的长。（2）在①的条件中，我们知道了AC与BD的比例关系，要求AC长，可通过比例关系间接求AC，然后根据下滑的梯子与墙壁仍然构成了直角三角形，把三边关系用勾股定理结合起来可求解。在②中，OP和 都是直角三角形斜边上的中线，可马上想到直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，再从斜边与中线构成的等腰三角形中寻找角度关系求解。
解：（1） 中，∠AOB=90°，∠ABO=60°，所以∠OAB=30°
又AB=4m，所以
根据勾股定理，
（2）①设AC=2xm，BD=3xm，在Rt△COD中，
根据勾股定理 ，所以
所以
因为 ，所以
所以
所以 m
即梯子顶端A沿NO下滑了
（3）点P和 分别是 的斜边AB与 的斜边 的中点，
因为PA=PO，
所以
所以
因为∠PAO=30°，所以
所以
所以
点评：类似这样的问题考了很多年，按理说已属传统题了，然而本题稍加改动，仍给人耳目一新的感觉。 |
